TEORIA DE CONJUNTOS

Definiciones:

1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}

                 {x/x² -3x –2= 0}

                 { Inglaterra, Francia, Dinamarca}

2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.

Notación: AÌB Û "x ÎAÞ xÎB

Ejemplo:

              El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.

3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.

Notación: U

Ejemplo:

                 A = {1,3,5}         B = {2,4,6,8}

                 U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia  de A,  P(A), a la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2ⁿ elementos.

Notación: 

Ejemplo:  

                 A = {3,4,5}

 P(A)= 2³ = 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A.

 P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}, f }.

5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Notación:  f = { x / x ¹ x }

Ejemplo:

                  B= {x/x² = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

6.-Diagrama de Venn:  Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.

Ejemplo:

              A Ì B

 

 

7.-Conjuntos Finitos o Infinitos:   Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar.

Ejemplo:

                  M= {a,e,i,o,u}, M es finito.

                  N={1,3,5,7...},  N es infinito.

8.- Conjuntos disjuntos:  Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.

Gráficamente:

 

                  

Ejemplo:

                

               A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.-Unión de conjuntos:  La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.

Notación:  AÈB= {x/xÎAÚ xÎB}

Gráficamente:

Ejemplo

                  A={3,4,5,8,9}              B={5,7,8,9,10}

                  AÈB={3,4,5,7,8,9,10}

2.- Intersección de conjuntos:  La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a  A y B.

Notación:  A Ç B= {x / x Î A Ù x Î B}

Gráficamente:

           

Ejemplo:

              A={7,8,9,10,11,12}           B={5,6,9,11,13,14}

A Ç B={9, 11}

3.-Complemento:  El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A

y que están en el universo.

Notación:   A^c  = {x / x ÎU Ù x ÏA}

                  A^c  = U -  A

Gráficamente:

                

Ejemplo:

                 U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}

                 A^c= {1,2,5,8,9,10}

4.- Diferencia de conjuntos:   La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notación:   A - B  ={x / x ÎA Ù x Ï B}

Gráficamente:     

        

                

 

                                                                                                                                                                  

Ejemplo:

             

                C = {u, v, x, y, z}           D = {s, t, z, v, p, q}

                C -  D = {x, y, u}

                                                     

5.- Diferencia Simétrica:   La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A.

Notación:   A D B= {x / x Î A Ù x Ï B} È {x / x ÏA Ù x ÎB}

                 

                  A D B= ( A - B ) È ( B -A )

Gráficamente:

 

               

Ejemplo:

              A= {1,3,4,5,6,7,20,30}        B={2,6,20,40,50}

              ADB= {1,3,4,5,7,30} È{2,40,50}

              ADB= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}

6.-Producto cartesiano:   El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los  pares  ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como segundo componente un elemento de B.

Notación:   A x B  = {(a, b ) / a ÎA Ù b Î B}

Ejemplo:

              A= {1,2}        B={3,4,5}

A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}

Observaciones:

1.- n(A) = n  Ù  n(B) = s  Þ   n(A x B) = n • s

2.-Si A = f    B = f Û Ax B = f

3.- A x B ¹ Bx A     siempre que se cumpla que A ¹ B

     

7.- Cardinalidad:

                 n(AÈB)   =      n(A) + n(B) – n (AÇB)

                

                 n(AÈ(BÈC)) =  n(A) + n(B) + n(C) - n(AÇB) - n(AÇC) – n(BÇC) + n(AÇ(BÇC))

LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO

1.-  Asociatividad:

                   (AÈB)ÈC = AÈ(BÈC)

                   (AÇB)ÇC = AÇ(BÇC)

2.-  Conmutatividad:

                   AÈB = BÈA

                   AÇB = BÇA

3.-  Distributividad:

                   AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC)

                   AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)

4.-  Absorción:

                   AÈ(AÇB) = A

                   AÇ(AÈB) = A

5.-  Idempotencia:

                    AÈA = A

                    BÇB = B

                   

6.-  Identidad:

                    AÈf = A                          AÇU = A

                    AÈU = U                         AÇf = f

7.-Complemento:

                    AÈA^c = U                        AÇA^c = f

                    (A^c)^c = A                           U’= f, f’ = U

8.-  Ley de Morgan:

                    (AÈB)^c = A^cÇB^c                      (AÇB)^c = A^cÈB^c

                    A – B = AÇB^c